Не работает фильтрация при включенном кэшировании

С кешем, и динамическими сайтами вообще проблема большая, нормально будет работать только при get отправке. А с кешированием и аякс даже не рассчитывайте, что из статичного содержимого можно сделать динамическое.
Проблема же не в кешировании модуля, а в кеширование самого контента, то есть категории.
Ну либо ставьте, что-то более тонкое для настройки кеширования, типа jotcache и исключайте из кеша. Категорию и очищенные данные Joomla.

Модуль лишь управляет моделью компонента материалов Joomla, и использует все, что генерирует компонент материалов, именно по этому и возможна ситуация, что вы не используя дополнительных каких-то компонентов полностью перестраивайте вид в материалах.

То есть просто не просто, но мы задаем параметры для самого com_content, к сожалению в коробке Joomla такой возможности нет, хотя мы и пытались это добавить в основной дистрибутив.

И даже если вы будет использовать отдельный компонент, и кеширование Joomla, без предварительной его настройки, то у вас все равно будет так же ситуация. У нас есть URL для которого закешировано состояние... сколько мы post не засылаем, кеш это статика, и он имеет в данном случае наивысший приоритет, а следовательно мы увидим ту же саму страницу.