Вывести модуль Slogin в нужное вам место, поставить отображать только для зарегистрированных.
И отредактировать шаблон.
Все что идет от <?php if ($type == 'logout') : ?> - 16 строка
<?php else : ?> - 82 строка
По сути вам в форме надо ставить вот этот блок:
<div class="logout-button">
<input type="submit" name="Submit" class="button" value="<?php echo JText::_('JLOGOUT'); ?>" />
<input type="hidden" name="option" value="com_users" />
<input type="hidden" name="task" value="user.logout" />
<input type="hidden" name="return" value="<?php echo $return; ?>" />
<?php echo JHtml::_('form.token'); ?>
</div>
